10.1 線性矩陣應用指令

線性代數以矩陣表示，會有諸多特殊名稱，在應用上相當普遍，有必要進行瞭解。有些部份在前面之說明中業已經提到，但在這裡則特別另加說明。

行列式與反矩陣

在工程數學或線性代數中，行列式與反矩陣是常用的矩陣特性。尤其在討論聯立方程式之解的過程中更常用到。反矩陣有如一個矩陣的倒數，一個方矩陣若為Ａ，則其反矩陣可以A^-1表示，而其與原矩陣之關係為：

 AA-1=I   A-1A=I

其中，Ｉ稱為單位矩陣(Identity matrix)，其大小為方矩陣，而對角線元素值均為1。在MATLAB中有一個指令稱為eye，可以用以建立這種單位矩陣。例如：

eye(4)
ans =
  1     0     0     0
  0     1     0     0
  0     0     1     0
  0     0     0     1

矩陣Ａ之反矩陣以inv(A)表示，有如一個數之倒數一樣。例如，設Ａ為一魔術方陣magic(4)：

A=rand(4)

A =
 0.9355    0.0579    0.1389    0.2722
 0.9169    0.3529    0.2028    0.1988
 0.4103    0.8132    0.1987    0.0153
 0.8936    0.0099    0.6038    0.7468

其反矩陣即為inv(A)表示，其結果設為Ｂ，則：

B=inv(A)
B =
-1.5054    3.6825   -1.4860   -0.4013
 5.3255   -7.0376    3.9063   -0.1473
-20.0637   22.9531   -8.5486    1.3769
17.9531  -22.8718    8.6384    0.7080

根據定義，原矩陣與其反矩陣相乘應等於單位矩陣，且相乘之順序不拘，亦即：Ａ*B與B*A均應等於Ｉ：

B*A
ans =
 1.0000    0.0000    0.0000   -0.0000
 0.0000    1.0000   -0.0000    0.0000
-0.0000    0.0000    1.0000   -0.0000
-0.0000    0.0000   -0.0000    1.0000

上述結果即為單位矩陣，可以試試以A*B，其結果應相同。此處Ａ、Ｂ及Ｉ均為方矩陣，且Ａ矩陣之行列式值或det(A)需不得為零，否則其反矩陣不能存在。此種矩陣不存在的情形，稱為奇異矩陣(singular)。一個矩陣若具奇異特性，則其行列值為零，例如：

D=magic(4)

D =
 16     2     3    13
  5    11    10     8
  9     7     6    12
  4    14    15     1

d=det(D)
d =     0

行值式之值為零，表示其反矩陣不存在，故即使用inv(D)指令也會產生一些數字，但其結果並不可靠，而且會有一些警告訊息出現，例如：

dd=inv(D)

Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.
      Results may be inaccurate. RCOND = 1.306145e-017.
dd =
1.0e+014 *
 0.9382    2.8147   -2.8147   -0.9382
 2.8147    8.4442   -8.4442   -2.8147
-2.8147   -8.4442    8.4442    2.8147
-0.9382   -2.8147    2.8147    0.9382

上述結果之值也變成很大，顯然不是正確的值。不信的話可以用AA^-1=I， A^-1A=I 印證一下（在此至少證實一下「垃圾進拉圾出(Gabage in, gabage out」這句名言）。

所以，某矩陣是否為奇異矩陣，可以使用det進行檢驗。其值若為零則屬奇異矩陣。

特徵值及特徵向量(Eigen Value & Eigen Vector)

線性代數中，最重要的工具是利用特徵值與特徵向量（Eigenvalues & Eigenvectors）來說明方矩陣之多項式特性，此兩者均為方型矩陣。利用矩陣之操作，可以作出相等效果之矩陣等式，但型式更為簡化，或容易得解。設特徵矩陣值與特徵向量其分別為D與V，則其與原矩陣Ａ之關係如下：

 A * V= V * D

假設有一個方矩陣Ａ係由亂數函數產生，其Ｖ與Ｄ可以利用eig(Ａ)指令如下求得：

A=rand(3);
[V, D]= eig(A)

A =
 0.4103    0.3529    0.1389
 0.8936    0.8132    0.2028
 0.0579    0.0099    0.1987
V =
 0.4053    0.6812    0.0680
 0.9136   -0.7124   -0.4004
 0.0319   -0.1688    0.9138
D =
 1.2167         0         0
      0    0.0068         0
      0         0    0.1987
A*V

ans =
 0.4931    0.0046    0.0135
 1.1116   -0.0048   -0.0796
 0.0388   -0.0011    0.1816
V*D

ans =
 0.4931    0.0046    0.0135
 1.1116   -0.0048   -0.0796
 0.0388   -0.0011    0.1816

由上述的演算，得知A*Ｖ及Ｖ*Ｄ是一樣的。eig()之指令尚有另外一種型式，即：

[V,D] = eig(A,B)

其中，ＡＢ分別為兩矩陣，Ｄ為對角矩陣特徵值，而Ｖ為對應之特徵向量。其關係如下：

 A * V = B * V * D

其使用範圍可以參考線性代數的內容。